练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    已知单位向量
    a
    ，
    b
    的夹角为
    π
    3
    ，且
    AB
    =2
    a
    +k
    b
    ，
    BC
    =
    a
    +
    b
    ，
    CD
    =
    a
    -2
    b
    ；
    （1）若A，B，D三点共线，求k的值；
    （2）是否存在k使得点A、B、D构成直角三角形，若存在，求出k的值，若不存在，说明理由；
    （3）若△ABC中角B为钝角，求k的范围．
    分析：（1）根据向量共线的充要条件，可得A，B，D三点共线，则
    AB
    =λ
    BD
    ，构造方程可求出k的值；
    （2）根据两个向量垂直，向量积为0，分别讨论△ABD中，角B为直角，角A为直角和角D为直角时，关于k的方程是否有解，最后综合讨论结果，可得是否存在k使得点A、B、D构成直角三角形．
    （3）若△ABC中角B为钝角，可得
    AB
    ，
    BC
    夹角为锐角，即
    AB
    •
    BC
    ＞0，解出k值后，除去让
    AB
    ，
    BC
    共线时的k值，可得答案．
    解答：解：（1）∵
    AB
    =2
    a
    +k
    b
    ，
    BC
    =
    a
    +
    b
    ，
    CD
    =
    a
    -2
    b
    ；
    ∴
    BD
    =
    BC
    +
    CD
    =2
    a
    -
    b
    ；
    ∵A，B，D三点共线，
    ∴
    AB
    =λ
    BD

    即2
    a
    +k
    b
    =λ（2
    a
    -
    b
    ）
    即
    2=2λ
    k=-λ

    解得k=-1
    （2）∵单位向量
    a
    ，
    b
    的夹角为
    π
    3
    ，
    ∴
    a
    2    =1，
    b
    2    =1，
    a
    •
    b
    =
    1
    2

    在△ABD中，
    若角B为直角，则
    AB
    •
    BD
    =（2
    a
    +k
    b
    ）•（2
    a
    -
    b
    ）=0，此时方程无解；
    若角A为直角，则
    AB
    •
    AD
    =
    AB
    •（
    AB
    +
    BD
    ）=（2
    a
    +k
    b
    ）•[4
    a
    +（k-1）
    b
    ]=0，即k2+2k+7=0此时方程无解；
    若角D为直角，则
    BD
    •
    AD
    =
    BD
    •（
    AB
    +
    BD
    ）=（2
    a
    -
    b
    ）•[4
    a
    +（k-1）
    b
    ]=0，此时方程无解；
    综上点A、B、D不能构成直角三角形，
    （3）若△ABC中角B为钝角，则
    AB
    ，
    BC
    夹角为锐角，
    ∴
    AB
    •
    BC
    =（2
    a
    +k
    b
    ）•（
    a
    +
    b
    ）=3+
    3
    2
    k    ＞0，解得k＞-2
    又∵k＞2时，
    AB
    ，
    BC
    同向，夹角为0°
    故k的范围为（-2，2）∪（2，+∞）
    点评：本题考查的知识点是向量平行，向量垂直，向量的夹角，熟练掌握向量平等、垂直、夹角公式是解答的关键，其中（3）易忽略两向量共线时的情况，而错解为（-2，+∞）
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知单位向量
    a
    ，
    b
    的夹角为
    π
    3
    ，那么|
    a
    -2
    b
    |=
    		3
    		3
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知单位向量
    a
    ，
    b
    的夹角为120°，当|2
    a
    +x
    b
    |（x∈R）取得最小值时x=
    1
    1
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知单位向量
    a
    ，
    b
    的夹角为
    2π
    3
    ，那么|
    a
    -
    b
    |=
    		3
    		3
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知单位向量
    a
    ，
    b
    的夹角为
    π
    3
    ，那么|
    a
    +2
    b
    |=（　　）

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案