【题目】已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.
(1)求M的轨迹方程;
(2)当|OP|=|OM|时,求l的方程及△POM的面积.
【答案】(1);(2)
.
【解析】试题分析:(1)圆的方程可化为
,由此能求出圆心为
,半径为4,设
,则
,
,由题设知
,由此能求出
的轨迹方程;(2)由(1)知
的轨迹是以点
为圆心,
为半径的圆,由于
,故
在线段
的垂直平分线上,由此利用点到直线距离公式结合已知条件能求出
的面积.
试题解析:(1)圆C的方程可化为x2+(y-4)2=16,所以圆心为C(0,4),半径为4.
设M(x,y),则,
,由题设知
,
故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,即(x-1)2+(y-3)2=2,由于点P在圆C的内部,
所以M的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2.
(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心, 为半径的圆,由于|OP|=|OM|,故O在线段PM的垂直平分线上,又P在圆N上,从而ON⊥PM,因为ON的斜率为3,所以l的斜率为
,故l的方程为
,又
,O到
的距离
为
,所以
,所以△POM的面积为
.
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【题目】下列命题:
①函数的最小正周期是
;
②在直角坐标系中,点
,将向量
绕点
逆时针旋转
得到向量
,则点
的坐标是
;
③在同一直角坐标系中,函数的图象和函数
的图象有两个公共点;
④函数在
上是增函数.
其中,正确的命题是________(填正确命题的序号).
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【题目】己知数列是等比数列,且公比为
,记
是数列
的前
项和.
(1)若=1,
>1,求
的值;
(2)若首项,
,
是正整数,满足不等式|
﹣63|<62,且
对于任意正整数
都成立,问:这样的数列
有几个?
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【题目】已知圆心为的圆过点
,且与直线
相切于点
。
(1)求圆的方程;
(2)已知点,且对于圆
上任一点
,线段
上存在异于点
的一点
,使得
(
为常数),试判断使
的面积等于4的点
有几个,并说明理由。
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【题目】已知椭圆(
)的两个顶点分别为
和
,两个焦点分别为
和
(
),过点
的直线
与椭圆相交于另一点
,且
.
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)设直线上有一点
(
)在
的外接圆上,求
的值.
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【题目】已知向量 =(sinx,1),
=(
Acosx,
cos2x)(A>0),函数f(x)=
的最大值为6.
(1)求A;
(2)将函数y=f(x)的图象像左平移 个单位,再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的
倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象.求g(x)在[0,
]上的值域.
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【题目】[选修4―4:坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的参数方程为
.
(1)若a=1,求C与l的交点坐标;
(2)若C上的点到l的距离的最大值为,求a.
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【题目】已知有6名男医生,4名女医生.
(1)选3名男医生,2名女医生,让这5名医生到5个不同地区去巡回医疗,一个地区去一名教师,共有多少种分派方法?
(2)把10名医生分成两组,每组5人且每组都要有女医生,共有多少种不同的分法?若将这两组医生分派到两地去,又有多少种分派方法?
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