Question

已知几何体A-BCD的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．
（I ）求此几何体的体积V：
（II）若F是AE上的一点，且EF=3FA求证：DF∥平面ABC
（III）试探究在棱DE上是否存在点使得AQ丄CQ，并说明理由．

Answer 1

分析：（I）由三视图知几何体是一个四棱锥，根据所给的数据和关系AB⊥平面BCDE，且BE=BC=BA=4，DC=1，得到体积
（II）做出辅助线，根据两个平面上的两条相交直线分别平行得到两个平面平行，根据两个平面平行的性质定理得到结论．
（III）先写出结论，取BC的中点O，过O作OQ⊥DE于Q，则点Q满足条件，下面根据两个直角三角形相似和线面垂直证明结论成立．

解答：解：（I）由该几何体的三视图知AB⊥平面BCDE，且BE=BC=BA=4，DC=1
∴S_△BCD=

1

2

•（4+1）•4=10
∴V_A-BCD=

1

3

•S_△BCD•AC=

40

3

即该几何体的体积为

40

3

（II）在BE上取一点G，使EG=3GB，连接DG，FG
∵EF=3FA
∴FG∥AB
又CD=1=BG
∴GD∥BC
∵GF、GD、BA、BC分别是平面GFD，平面BAC内的两条相交直线
∴平面GFD∥平面BAC
又FD?平面GFD
∴FD∥平面BAC
（III）取BC的中点O，过O作OQ⊥DE于Q，则点Q满足条件，证明如下：
连接E0，OD，BQ，AQ，CQ，在Rt△EBO和Rt△OCD中
∵

EB

BO

=

OC

CD

=2，
∴Rt△EBO∽Rt△OCD
∴∠EOB=∠ODC
∴∠EOD=90°
又OE=

OB2+BE2

=2

5

，
OD=

OC2+CD2

=

5

，ED=5
∴OQ=

OE•OD

ED

=2
∴以O为圆心，以BC为直径的圆与DE相切于点Q
∴BQ⊥CQ
又CQ⊥平面BCDE，CQ?平面BCDE
∴CQ⊥AB
∴CQ⊥平面ABQ
又AQ?平面ABQ
∴CQ⊥AQ
故在棱DE上存在点使得AQ丄CQ．

点评：本题考查空间中线面之间的关系和体积的求法，本题是一个综合题目，解题的关键是看出所给的三视图还原出的几何体各个部分的数据．