Question

13．已知向量$\overrightarrow a$=（sinθ，cosθ），$\overrightarrow b$=（2，-1），若$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$，则cos2θ+sin2θ=（　　）

• A． -$\frac{1}{5}$
• B． $\frac{1}{5}$
• C． $\frac{3}{5}$
• D． $\frac{7}{5}$

Answer 1

分析 求出tanθ=$\frac{1}{2}$，把所求式子的cos2θ利用二倍角的余弦函数公式化简后，将所求式子的分母“1”变为sin²θ+cos²θ，然后分子分母都除以cos²θ，利用同角三角函数间的基本关系即可得到关于tanθ的关系式，把tanθ的值代入即可求出值．

解答 解：因为向量$\overrightarrow a$=（sinθ，cosθ），$\overrightarrow b$=（2，-1），$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$，
所以2sinθ-cosθ=0
所以tanθ=$\frac{1}{2}$，
所以sin2θ+cos2θ=2sinθcosθ+cos²θ-sin²θ=$\frac{2tanθ+1-ta{n}^{2}θ}{1+ta{n}^{2}θ}$=$\frac{7}{5}$
故选：D．

点评 此题考查学生灵活运用二倍角的余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道基础题．做题时注意“1”的灵活变换．