Question

（2012•潍坊二模）对于定义域为D的函数f（x），若存在区间M=[a，b]⊆D（a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，则称区间M为函数f（x）的“等值区间”．给出下列四个函数：
①f（x）=2^x；②f（x）=x³；③f（x）=sinx；④f（x）=log₂x+1．
则存在“等值区间”的函数的个数是（　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

Answer 1

分析：根据“等值区间”的定义，要想说明函数存在“等值区间”，只要举出一个符合定义的区间M即可，但要说明函数没有“等值区间”，可以用反证明法来说明．由此对四个函数逐一进行判断，即可得到答案．

解答：解：解：①对于函数f（x）=2^x，若存在“等值区间”[a，b]，由于函数是定义域内的增函数，故有2^a=a，2^b=b，
即方程2^x=x有两个解，即y=2^x和y=x的图象有两个交点，这与y=2^x和y=x的图象没有公共点相矛盾，故①不存在
“等值区间”．
②对于函数f（x）=x³存在“等值区间”，如 x∈[0，1]时，f（x）=x³∈[0，1]．
③对于函数f（x）=sinx，若正弦函数存在等值区间[a，b]，则在区间[a，b]上有sina=a，sinb=b，由正弦函数的值域知道[a，b]⊆[-1，1]，但在区间]⊆[-1，1]上仅有sin0=0，所以函数f（x）=sinx没有“等值区间”；
④对于 f（x）=log₂x+1，由于函数是定义域内的增函数，故在区间[1，2]上有f（1）=1，f（2）=2，所以函数存在“等值区间”[1，2]．
故选B

点评：本题考查的知识点是函数的概念及其构造要求，考查了函数的值域，在说明一个函数没有“等值区间”时，利用函数的性质、图象结合反证法证明是解答本题的关键，属于创新题．