Question

已知向量

a

=(sinx，-cosx)，

b

=(

3

cosx，cosx)，设函数f(x)=

a

•

b

-

1

2

；
（1）写出函数f（x）的单调递增区间；
（2）若x∈[

π

4

，

π

2

]求函数f（x）的最值及对应的x的值；-
（3）若不等式|f（x）-m|＜1在x∈[

π

4

，

π

2

]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用两个向量的数量积公式 化简f（x）的解析式为sin(2x-

π

6

)-1，由-

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

π

2

+2kπ 
求得x的范围，即可得到f（x）=

a

•

b

-

1

2

的单调递增区间．
（2）根据x的范围可得到2x-

π

6

的范围，利用f（x）单调性和值域求出f（x）的最值．
（3）|f（x）-m|＜1?m-1＜f（x）＜m+1，故有 m-1＜-

1

2

，且m+1＞0，解不等式求得m的范围．

解答：解：（1）由已知得f（x）=

a

•

b

-

1

2

=

3

sinxcosx-cos2x-

1

2

=

3

2

sin2x-

1+cos2x

2

-

1

2

=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x-1=sin(2x-

π

6

)-1．
由 -

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

π

2

+2kπ得：-

π

6

+kπ≤x≤

π

3

+kπ（k∈z），
所以f（x）=

a

•

b

-

1

2

的单调递增区间为{x|-

π

6

+kπ≤x≤

π

3

+kπ，k∈z}．
（2）由（1）知f(x)=sin(2x-

π

6

)-1，∵x∈[

π

4

，

π

2

]，所以 

π

3

≤2x-

π

6

≤

5π

6

，
故 当 2x-

π

6

=

π

2

时，即x=

π

3

时，f（x）_max=0，当2x-

π

6

=

5π

6

时，即x=

π

2

时，f(x)min=-

1

2

．
（3）|f（x）-m|＜1?m-1＜f（x）＜m+1∴m-1＜-

1

2

，且m+1＞o；故m的范围为（-1，

1

2

）．

点评：本题考查两个向量的数量积公式，正弦函数的定义域和值域，正弦函数的单调性，函数的恒成立问题，是一道中档题．