Question

如图已知在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥面ABC，AC=BC，M，N，P，Q分别是AA₁，BB₁，AB，B₁C₁的中点，
（1）求证：面PCC₁⊥面MNQ；
（2）求证：PC₁∥面MNQ．

Answer 1

证明：（1）∵AC=BC，P是AB的中点
∴AB⊥PC
∵AA₁⊥面ABC，CC₁∥AA₁，
∴CC₁⊥面ABC而AB在平面ABC内
∴CC₁⊥AB，
∵CC₁∩PC=C
∴AB⊥面PCC₁；
又∵M，N分别是AA₁、BB₁的中点，
四边形AA₁B₁B是平行四边形，MN∥AB，
∴MN⊥面PCC₁．
∵MN在平面MNQ内，
∴面PCC₁⊥面MNQ；（4分）

（2）连PB₁与MN相交于K，连KQ，
∵MN∥PB，N为BB₁的中点，
∴K为PB₁的中点．
又∵Q是C₁B₁的中点
∴PC₁∥KQ而KQ?平面MNQ，PC₁?平面MNQ
∴PC₁∥面MNQ．（9分）
分析：（1）先由AB⊥PC和CC₁⊥AB?AB⊥面PCC₁；再利用MN∥AB?MN⊥面PCC₁即可得到面PCC₁⊥面MNQ；．
（2）连PB₁与MN相交于K，连KQ，把直线PC₁平行面MNQ转化为证明PC₁∥KQ即可．
点评：本题综合考查了面面垂直的判定以及线面平行的判定，是对立体几何知识的综合考查．在证明线面平行时，一般转化为线线平行或面面平行来证．