Question

3．若a＞$\frac{1}{e}$，则方程lnx-ax=0的实根的个数为（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 无穷多个

Answer 1

分析 由题意可得a=$\frac{lnx}{x}$，由f（x）=$\frac{lnx}{x}$，求得导数，求得单调区间和极大值，也为最大值，结合图象即可得到所求根的个数．

解答 解：方程lnx-ax=0，即为a=$\frac{lnx}{x}$，
由f（x）=$\frac{lnx}{x}$，f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
当x＞e时，f′（x）＜0，f（x）递减；
当0＜x＜e时，f′（x）＞0，f（x）递增．
即有x=e时，f（x）取得极大值，且为最大值$\frac{1}{e}$，
即有$\frac{lnx}{x}$≤$\frac{1}{e}$，
由a＞$\frac{1}{e}$，可得方程lnx-ax=0无实根．
故选：A．

点评 本题考查方程的根的个数的求法，注意运用参数分离和函数的导数，考查运算能力，以及数形结合的思想方法，属于中档题．