Question

已知F₁、F₂分别是椭圆

x2

4

+

y2

3

=1的左、右焦点，曲线C是坐标原点为顶点，以F₂为焦点的抛物线，过点F₁的直线l交曲线C于x轴上方两个不同点P、Q，点P关于x轴的对称点为M，设

F1P

=λ

F1Q

（I）若λ∈[2，4]，求直线L的斜率k的取值范围；
（II）求证：直线MQ过定点．

Answer 1

分析：（I）求出曲线C的方程，把PQ的方程  x=my-1 （m＞0）代入曲线C的方程 化简可得 y²-4my+4=0，利用根与系数的关系  及

F1P

=λ

F1Q

，可得  

(y1+y2)2

y1y2

=λ+

1

λ

+2=4m²，据λ∈[2，4]，求得直线L的斜率

1

m

 的范围．
（II）根据KQF1-KPF1=0，可得 M、Q、F₂三点共线，故直线MQ过定点  F₂ （1，0 ）．

解答：解：（I）令P（x₁，y₁），，Q（x₂，y₂），由题意，可设抛物线方程为 y²=2px
由椭圆的方程可得F₁ （-1，0），F₂ （1，0 ）故p=2，曲线C的方程为  y²=4x，
由题意，可设PQ的方程  x=my-1 （m＞0）．把PQ的方程代入曲线C的方程 化简可得 y²-4my+4=0，
∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=4．  又

F1P

=λ

F1Q

，∴x₁+1=λ（x₂+1），y₁=λy₂，
又 

(y1+y2)2

y1y2

=λ+

1

λ

+2=4m²．λ∈[2，4]，∴2+

1

2

≤λ+

1

λ

≤4+

1

4

，

9

8

≤m²≤

25

16

，
∴

4

5

≤

1

m

≤

2 2

3

∴直线L的斜率k的取值范围为[

4

5

，

2 2

3

]．
（II）由于P，M关于X轴对称，故M（x₁，-y₁），，
∵KQF2-KMF2=

y2

x2-1

+

y1

x1-1

=

2ky1y2-2(y1+y2)

(x1-1)(x2-1)

=0，
∴M、Q、F₂三点共线，故直线MQ过定点  F₂ （1，0 ）．

点评：本题考查椭圆、抛物线的标准方程、简单性质，三点共线的条件，根据题意，得到2+

1

2

≤λ+

1

λ

≤4+

1

4

，是解题的关键．