Question

有下列命题：
①函数y=f （-x+2）与y=f （x-2）的图象关于y轴对称；
②若函数f（x）=e^x，则?x₁，x₂∈R，都有f(

x1+x2

2

)≤

f(x1)+f(x2)

2

；
③若函数f（x）=log_a|x|（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上单调递增，则f（-2）＞f（a+1）；
④若函数f（x+2010）=x²-2x-1 （x∈R），则函数f（x）的最小值为-2．
其中真命题的序号是

②④

．

Answer 1

分析：根据函数的对称性判断①，单调性、奇偶性判断③、凹函数的性质判断②，以及图象的变换最值判断④，即可得到选项．

解答：解：函数y=f （-x+2）与y=f （x-2）的图象关于x=2轴对称，故①不正确；
?x₁，x₂∈R，都有f(

x1+x2

2

)≤

f(x1)+f(x2)

2

，
则f（x）为凹函数，函数f（x）=e^x满足条件，故②正确；
∵函数f（x）=loga|x|（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上单调递增，
∴a＞1则a+1＞2
根据函数是偶函数则f（-2）=f（2）＜f（a+1），故③不正确
函数f（x）的最小值与函数f（x+2010）=x²-2x-1（x∈R）的最小值相等，
故函数f（x）的最小值为-2，故④正确
故答案为：②④．

点评：本题主要考查了函数的最值及其几何意义，以及函数的单调性、奇偶性、对称性等有关知识，属于基础题．