Question

设直线l的方程为（a+1）x+y-2-a=0（x∈R）．
（1）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；
（2）若a＞-1，直线l与x轴、y轴分别交于M、N两点，求△OMN的面积取得最小值时，直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）先求出直线在两坐标轴上的截距，由这两个截距相等解出a值，从而得到直线l的方程．
（2）求出M、N两点的坐标，化简△OMN的面积表达式，使用基本不等式求出面积的最小值，并且求出面积最小时
的a值，从而得到直线l的方程．

解答：解：（1）直线l（a+1）x+y-2-a=0（x∈R）在横轴上的截距为 

a+2

a+1

，在纵轴上的截距为 a+2，
∵直线l在两坐标轴上的截距相等，∴

a+2

a+1

=a+2，∴a=-2 或 a=0．
当a=-2时，直线l的方程为 x-y=0，当a=0 时，直线l的方程为 x+y-2=0．
（2）由题意知 M（

a+2

a+1

，0），N（0，a+2），
△OMN的面积为

1

2

×

a+2

a+1

×（a+2）=

1

2

×（1+

1

a+1

）×[（a+1）+1]=

1

2

×[（a+1）+1+1+

1

a+1

]
=1+

1

2

[（a+1）+

1

a+1

]≥1+1=2 （当且仅当a=0时，等号成立），
∴△OMN的面积取得最小值时，直线l的方程为 x+y-2=0．

点评：本题考查求直线方程的方法，直线在两坐标轴上的截距的定义以及基本不等式的应用（注意检验等号成立的条件）．