Question

7．已知不等式（m-n）²+（m-lnn+λ）²≥2对任意m∈R，n∈（0，+∞）恒成立，则实数λ的取值范围为λ≥1．

Answer 1

分析 问题看作点（m，m+λ），（n，lnn）两点的距离的平方，即为直线y=x+λ和直线y=lnx的距离的最小值，当y=lnx的切线斜率为1时，求出y=lnx在（1，0）处的切线与y=x+λ的最小值，解出即可．

解答 解：不等式（m-n）²+（m-lnn+λ）²≥2对任意m∈R，n∈（0，+∞）恒成立，
看作点（m，m+λ），（n，lnn）两点的距离的平方，
即为直线y=x+λ和直线y=lnx的距离的最小值，
当y=lnx的切线斜率为1时，
y′=$\frac{1}{x}$=1，点（1，0）处的切线与y=x+λ平行，
距离的最小值是d=$\frac{|1+λ|}{\sqrt{2}}$≥$\sqrt{2}$，
解得：λ≥1或λ≤-3，
∵当λ≤-3时，直线与曲线相交，不合题意，应舍去，
故答案为：λ≥1．

点评 本题考查了曲线的切线方程问题，考查平行线的距离，问题转化为直线y=x+λ和直线y=lnx的距离的最小值是解题的关键，本题是一道中档题．