Question

某同学对函数f（x）=xcosx进行研究后，得出以下五个结论：
①函数y=f（x）的图象是中心对称图形；
②对任意实数x，f（x）＞0均成立；
③函数[a，b]的图象与x轴有无穷多个公共点，且任意相邻两点的距离相等；
④函数y=f（x）的图象与直线y=x有无穷多个公共点，且任意相邻两点的距离相等；
⑤当常数k满足|k|＞1时，函数y=f（x）的图象与直线y=kx有且仅有一个公共点．
其中所有正确结论的序号是（　　）

• A、①②④
• B、①②③④
• C、①②④⑤
• D、①②③④⑤

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：转化思想,三角函数的图像与性质

分析：根据函数f（x）=xcosx是奇函数可得①正确．根据|cosx|≤1，可得②正确．根据当x=kπ+

π

2

，k∈z 时，
函数f（x）=xcosx=0，且f（0）=0，可得③不正确．根据当 x=2kπ，k∈z 时，方程xcosx=x 成立，
可得④正确．根据方程 xcosx=kx，|k|＞1，有唯一解为 x=0，可得⑤正确．

解答： 解：由于函数f（x）=xcosx是奇函数，故图象关于原点对称，故①正确．
由于|cosx|≤1，故|f（x）|≤|x|，∴f（x）≤|x|成立，故②正确．
由于当x=kπ+

π

2

，k∈z 时，函数f（x）=xcosx=0，且f（0）=0，故函数y=f（x）的图象与x轴有无穷
多个公共点，但任意相邻两个公共点的距离不一定相等，如相邻的公共点（0，0）、
（

π

2

，0）、（

3π

2

，0），显然不满足③，故③不正确．
由于方程xcosx=x 即cosx=1，故  x=2kπ，k∈z，函数y=f（x）的图象与直线y=x有无穷多个公共点，
且任意相邻两个点的距离相等，且等于2π，故④正确．
由方程 xcosx=kx，|k|＞1，可得此方程有唯一解为 x=0，故函数y=f（x）的图象与直线y=kx
有且仅有一个公共点，故⑤正确．
故答案为：①②④⑤．

点评：本题考查余弦函数的图象性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．