Question

20．如图，F₁，F₂分别是双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a，b＞0）的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F₁B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M，若|MF₂|=|F₁F₂|，则双曲线C的渐近线方程是（　　）

• A． y=±x
• B． $y=±\sqrt{3}x$
• C． $y=±\frac{1}{2}x$
• D． $y=±\frac{{\sqrt{2}}}{2}x$

Answer 1

分析 由题意知直线F₁B的方程为y=$\frac{b}{c}x+b$，分别与双曲线的渐近线联立，得到P，Q的坐标，从而得到PQ的中点坐标，进而求出PQ的垂直平分线方程，推导出a与b的等量关系，由此能求出双曲线C的渐近线方程．

解答 解：由题意知直线F₁B的方程为y=$\frac{b}{c}x+b$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{b}{c}x+b}\\{\frac{{x}^{\;}}{{a}^{\;}}-\frac{{y}^{\;}}{{b}^{\;}}=0}\end{array}\right.$，得Q（$\frac{ac}{c-a}，\frac{bc}{c-a}$），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{b}{a}x+b}\\{\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=0}\end{array}\right.$，得P（-$\frac{ac}{c+a}，\frac{bc}{c+a}$），
∴PQ的中点为（$\frac{{a}^{2}c}{{b}^{2}}$，$\frac{{c}^{2}}{{b}^{2}}$），
∴PQ的垂直平分线方程为y-$\frac{{c}^{2}}{b}$=-$\frac{c}{b}$（x-$\frac{{a}^{2}c}{{b}^{2}}$），
令y=0，得x=c（1+$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$），∴（1+$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$）=3c，
∴a²=2b²，
∴双曲线C的渐近线方程y=$±\frac{\sqrt{2}}{2}$x．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的渐近线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线性质的合理运用．