Question

已知函数y=f（x）的图象是自原点出发的一条折线，当n≤y≤n+1?（n=0，1，2，…）时，该图象是斜率为bⁿ的线段（其中正常数b≠1），设数列|x_n|由f（x_n）=n（n=1，2，…）定义．
（1）求x₁、x₂和x_n的表达式；
（2）求f（x）的表达式，并写出其定义域；
（3）证明：y=f（x）的图象与y=x的图象没有横坐标大于1的交点．

Answer 1

分析：（1）依题意f（0）=0，又由f（x₁）=1，进而利用斜率公式得x₁=1，再由当n≤y≤n+1?（n=0，1，2，…）时，该图象是斜率为bⁿ的线段（其中正常数b≠1），可得x_n的递推关系，再利用累加法求得x_n的表达式．
（2）先求出f（x）的表达式，再根据b的取值情况分别求得f（x）的定义域．
（3）法1：分情况用数学归纳法证明．
     法2：分情况利用当x_n＜x≤x_n+1时有f（x）-f（x_n）=bⁿ（x-x₀）＞x-x_n（n≥1），从而f（x）-x＞f（x_n）-x_n．进而得解．

解答：解：（1）依题意f（0）=0，又由f（x₁）=1，当0≤y≤1时，函数y=f（x）的图象是斜率为b⁰=1的线段，故由

f(x1)-f(0)

x1-0

=1
得x₁=1．
又由f（x₂）=2，当1≤y≤2时，函数y=f（x）的图象是斜率为b的线段，故由

f(x2)-f(x1)

x2-x1

=b，即x2-x1=

1

b

得x2=1+

1

b

．
记x₀=0．由函数y=f（x）图象中第n段线段的斜率为b^n-1，故得

f(xn)-f(xn-1)

xn-xn-1

=bn-1．
又f（x_n）=n，f（x_n-1）=n-1；
所以xn-xn-1=(

1

b

)n-1，n=1，2．
由此知数列{x_n-x_n-1}为等比数列，其首项为1，公比为

1

b

．
因b≠1，得xn=

n

k=1

(xk-xk-1)
=1+

1

b

++

1

bn-1

=

b-( 1 b )n-1

b-1

，
即xn=

b-( 1 b )n-1

b-1

．
（2）当0≤y≤1，从Ⅰ可知y=x，当0≤x≤1时，f（x）=x．
当n≤y≤n+1时，即当x_n≤x≤x_n+1时，由Ⅰ可知f（x）=n+bⁿ（x-x_n）?（x_n≤x≤x_n+1，n=1，2，3）．
为求函数f（x）的定义域，须对xn=

b-( 1 b )n-1

b-1

?(n=1，2，3，)进行讨论．
当b＞1时，

lim

n→∞

xn=

lim

n→∞

b-( 1 b )n-1

b-1

=

b

b-1

；
当0＜b＜1时，n→∞，x_n也趋向于无穷大．
综上，当b＞1时，y=f（x）的定义域为[0，

b

b-1

)；
当0＜b＜1时，y=f（x）的定义域为[0，+∞）．
（3）证法一：首先证明当b＞1，1＜x＜

b

b-1

时，恒有f（x）＞x成立．
用数学归纳法证明：
（ⅰ）由（2）知当n=1时，在（1，x₂]上，y=f（x）=1+b（x-1），
所以f（x）-x=（x-1）（b-1）＞0成立
（ⅱ）假设n=k时在（x_k，x_k+1]上恒有f（x）＞x成立．
可得f（x_k+1）=k+1＞x_k+1，
在（x_k+1，x_k+2]上，f（x）=k+1+b^k+1（x-x_k+1）．
所以f（x）-x=k+1+b^k+1（x-x_k+1）-x=（b^k+1-1）（x-x_k+1）+（k+1-x_k+1）＞0也成立．
由（ⅰ）与（ⅱ）知，对所有自然数n在（x_n，x_n+1]上都有f（x）＞x成立．
即1＜x＜

b

b-1

时，恒有f（x）＞x．
其次，当b＜1，仿上述证明，可知当x＞1时，恒有f（x）＜x成立．
故函数y=f（x）的图象与y=x的图象没有横坐标大于1的交点．
证法二：首先证明当b＞1，1＜x＜

b

b-1

时，恒有f（x）＞x成立．
对任意的x∈(1，

b

b-1

)，存在x_n，使x_n＜x≤x_n+1，
此时有f（x）-f（x_n）=bⁿ（x-x₀）＞x-x_n（n≥1），
所以f（x）-x＞f（x_n）-x_n．
又f(xn)=n＞1+

1

b

++

1

bn-1

=xn，
所以f（x_n）-x_n＞0，
所以f（x）-x＞f（x_n）-x_n＞0，
即有f（x）＞x成立．
其次，当b＜1，仿上述证明，可知当x＞1时，恒有f（x）＜x成立．
故函数f（x）的图象与y=x的图象没有横坐标大于1的交点．
本小题主要考查函数的基本概念、等比数列、数列极限的基础知识，考查归纳、推理和综合的能力．

点评：本题主要考查函数与数列以及极限的综合知识，考查知识的归纳、推理和综合运用的能力，能力层次要求高，要理解掌握本题的思想方法．