Question

正项等差数列{a_n}中，已知a₁+a₂+a₃=15，且a₁+2，a₂+5，a₃+13构成等比数列{b_n}的前三项．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=

1

an•(1+2log2 bn 5 )

，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知得a₂=5，d＞0，（7-d）（18+d）=100，由此能求出b_n=5•2^n-1，a_n=2n+1．
（Ⅱ）确定数列{c_n}的通项，利用裂项法求前n项和S_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵正项等差数列{a_n}中，a₁+a₂+a₃=15，
∴a₂=5，d＞0，
∵a₁+2，a₂+5，a₃+13构成等比数列{b_n}的前三项，
∴{b_n}的前3项分别为7-d，10，18+d，
依题意，有（7-d）（18+d）=100，
解得d=2或d=-13（舍），
∴{b_n}的首项b₁=5，公比q=2，
∴b_n=5•2^n-1，a_n=2n+1．
（Ⅱ）c_n=

1

an•(1+2log2 bn 5 )

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
∴S_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）=

1

2

（1-

1

2n+1

）=

n

2n+1

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，考查裂项法，确定数列的通项是关键．