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    设数列{an}前n项和为Sn，且（3-m）Sn+2man=m+3（n∈N*）．其中m为实常数，m≠-3且m≠0．
    （1）求证：{an}是等比数列；
    （2）若数列{an}的公比满足q=f（m）且b1=a1，bn=
    3
    2
    f(bn-1)(n∈N*，n≥2)    ，求{bn}的通项公式；
    （3）若m=1时，设Tn=a1+2a2+3a3+…+nan（n∈N*），是否存在最大的正整数k，使得对任意n∈N*均有Tn＞
    k
    8
    成立，若存在求出k的值，若不存在请说明理由．
    分析：（1）由（3-m）Sn+2man=m+3，得（3-m）Sn+1+2man+1=m+3，由此能够证明{an}是等比数列．
    （2）由b1=a1=1，q=f(m)=
    2m
    m+3
    ，n∈N*    ，知n≥2时，bn=
    3
    2
    f(bn-1)=
    3
    2
    •
    2bn-1
    bn-1+3
    ，所以{
    1
    bn
    }    是以1为首项，
    1
    3
    为公差的等差数列，由此能求出bn=
    3
    n+2
    ．
    （3）由Tn=1+2(
    1
    2
    )1+3(
    1
    2
    )2+…+n(
    1
    2
    )n-1    ，知
    1
    2
    Tn=
    1
    2
    +2(
    1
    2
    )2+3(
    1
    2
    )3+…+n(
    1
    2
    )n    ，由此能求出k的最大值．
    解答：解：（1）由（3-m）Sn+2man=m+3，
    得（3-m）Sn+1+2man+1=m+3，
    两式相减，得（3+m）an+1=2man（m≠-3），
    ∴
    an+1
    an
    =
    2m
    m+3
    ，
    ∵m是常数，且m≠-3，m≠0，
    故
    2m
    m+3
    为不为0的常数，
    ∴{an}是等比数列．
    （2）由b1=a1=1，q=f(m)=
    2m
    m+3
    ，n∈N*    ，
    且n≥2时，bn=
    3
    2
    f(bn-1)=
    3
    2
    •
    2bn-1
    bn-1+3
    ，
    得bnbn-1+3bn=3bn-1⇒
    1
    bn
    -
    1
    bn-1
    =
    1
    3
    ，
    ∴{
    1
    bn
    }    是以1为首项，
    1
    3
    为公差的等差数列，
    ∴
    1
    bn
    =1+
    n-1
    3
    =
    n+2
    3
    ，
    故bn=
    3
    n+2
    ．
    （3）由已知Tn=1+2(
    1
    2
    )1+3(
    1
    2
    )2+…+n(
    1
    2
    )n-1    ，
    ∴
    1
    2
    Tn=
    1
    2
    +2(
    1
    2
    )2+3(
    1
    2
    )3+…+n(
    1
    2
    )n
    相减得：
    1
    2
    Tn=1+
    1
    2
    +(
    1
    2
    )2+(
    1
    2
    )3+…+(
    1
    2
    )n-1-n(
    1
    2
    )n=
    1-(
    1
    2
    )    n
    1-
    1
    2
    -n(
    1
    2
    )n    ，
    ∴Tn=4-
    n+2
    2n-1
    ，
    Tn+1-Tn=(4-
    n+3
    2n
    )-(4-
    n+2
    2n-1
    )=
    n+1
    2 n
    ＞0    ，
    Tn递增，
    ∴(Tn)min=T1=4-
    3
    20
    =1    ，
    ∵Tn＞
    k
    8
    对n∈N*均成立，
    ∴
    k
    8
    ＜(Tn)min=1    ，
    又k∈N*，∴k最大值为7．
    点评：本题考查数列的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，合理地运用错位相减法进行证明．注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．
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