Question

图1是一个正方体的表面展开图，MN和PB是两条面对角线，请在图2的正方体中将MN和PB画出来，并就这个正方体解决下列问题

（1） 求证：MN//平面PBD； （2）求证：AQ平面PBD；
（3）求二面角P-DB-M的余弦值。

Answer 1

（1）只需证MN//BD；（2）只需证，。（3）。

试题分析：画出MN和PB如图所示

（1） 证明：在正方体ABCD-PMQN中
  MN//BD  MN//平面PBD     
（2）证明：在正方体ABCD-PMQN中

   

同理可证 ：  
        
（3）解： 建立空间直角坐标系如图所示，设正方体的棱长为1
则 A(1,0,0), Q(0,1,1) , C(0,1,0)
由知平面PBD的一个法向量是
平面MBD的一个法向量是

 二面角P-DB-M的余弦值为 .
点评：综合法求二面角，往往需要作出平面角，这是几何中一大难点，而用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角，只需求出平面的法向量，经过简单运算即可，从而体现了空间向量的巨大作用．二面角的向量求法： ①若AB、CD分别是二面的两个半平面内与棱垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量与的夹角； ②设分别是二面角的两个面α，β的法向量，则向量的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小。