Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx（a，b∈R）．若函数f（x）在x=1处有极值-4．
（1）求f（x）的单调递减区间；
（2）求函数f（x）在[-1，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）首先求出函数的导数，然后令f′（x）=0，解出函数的极值点，最后根据导数判断函数的单调性，从而求解．
（2）由（1）求出函数的单调区间，可以运用导数判断函数的单调性，从而求出函数f（x）在[-1，2]上的最大值和最小值．

解答：（1）f′（x）=3x²+2ax+b，依题意有f′（1）=0，f（1）=-4，
即

3+2a+b=0 1+a+b=-4

得

a=2 b=-7

．（4分）
所以f′（x）=3x²+4x-7=（3x+7）（x-1），
由f′（x）＜0，得-

7

3

＜x＜1，
所以函数f（x）的单调递减区间（-

7

3

，1）．（7分）
（2）由（1）知f（x）=x³+2x²-7x，f′（x）=3x²+4x+7=（3x+7）（x-1），
令f′（x）=0，解得x₁=-

7

3

，x₂=1．
f′（x），f（x）随x的变化情况如下表：

由上表知，函数f（x）在（-1，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增．
故可得f（x）_min=f（1）=-4，f（x）_max=f（-1）=8．（13分）

点评：此题主要考查多项式函数的导数，函数单调性的判定，函数最值，函数、方程等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力及分析与解决问题的能力，难度较大．