Question

10．设函数f（x）=x²-2|x|-3，（x∈[-4，4]）．
（1）求证：f（x）是偶函数；
（2）画出函数f（x）的图象，并指出函数f（x）的单调区间，并说明在各个单调区间上f（x）是单调递增还是单调递减；
（3）求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）通过函数的定义域以及判断f（-x）=f（x），证明f（x）是偶函数．
（2）去掉绝对值符号，得到函数的解析式，然后画出函数的图象．写出函数f（x）的单调区间．
（3）分别通过当x≥0时，当x＜0时，求出函数f（x的最小值，最大值，得到函数f（x）的值域．

解答 解：（1）因为x∈[-4，4]，所以f（x）的定义域关于原点对称．
对定义域内的每一个x，都有f（-x）=f（x），所以f（x）是偶函数．
（2）当0≤x≤4时，f（x）=x²-2x-3=（x-1）²-4；
当-4≤x＜0时，f（x）=x²+2x-3=（x+1）²-4．
函数f（x）的图象如图所示．
由图知函数f（x）的单调区间为
[-4，-1），[-1，0），[0，1），[1，4]．
f（x）在区间[-4，-1）和[0，1）上单调递减，
在[-1，0）和[1，4]上单调递增．
（3）当x≥0时，函数f（x）=（x-1）²-4的最小值为-4，最大值为f（4）=5；
当x＜0时，函数f（x）=（x+1）²-4的最小值为-4，最大值为f（-4）=5．
故函数f（x）的值域为[-4，5]．

点评 本题考查函数的图象的作法，二次函数的性质的应用，函数的最值以及单调区间的求法，考查计算能力．