Question

（2012•衡阳模拟）已知椭圆C的方程为

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0），离心率e=

2

2

，上焦点到直线y=

a2

c

的距离为

2

2

，直线l与y轴交于一点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A，B且

AP

=t

PB

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若

OA

+t

OB

=4

OP

，求m的取值范围•

Answer 1

分析：（1）根据椭圆离心率e=

2

2

，焦点到直线y=

a2

c

的距离为

2

2

，可求椭圆的几何量，从而可得椭圆C的方程；
（2）先确定t=3，再将直线y=kx+m代入椭圆方程，利用韦达定理，建立等式关系，从而可得k2=

2-2m2

4m2-1

，由此可求m的取值范围．

解答：解：（1）∵椭圆离心率e=

2

2

，焦点到直线y=

a2

c

的距离为

2

2

，
∴

a2

c

-c=

2

2

，

c

a

=

2

2

∴a=1，c=

2

2

∴b2=a2-c2=

2

2

∴椭圆C的方程为y2+

x2

1 2

=1；
（2）∵

AP

=t

PB

，∴（1+t）

OP

=

OA

+t

OB

∵

OA

+t

OB

=4

OP

，∴1+t=4，∴t=3
设直线l与椭圆交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），将直线y=kx+m代入椭圆方程，消去y可得（k²+2）x²+2kmx+（m²-1）=0
∴△=（2km）²-4（k²+2）（m²-1）=4（k²-2m²+2）＞0①，x₁+x₂=

-2km

k2+2

，x₁x₂=

m2-1

k2+2

∵

AP

=3

PB

，∴-x₁=3x₂，∴x₁+x₂=-2x₂，x₁x₂=-3x22
∴3（x₁+x₂）²+4x₁x₂=0
∴3（

-2km

k2+2

）²+4×

m2-1

k2+2

=0
∴4k²m²+2m²-k²-2=0
m2=

1

4

时，上述式子不成立，m2≠

1

4

时，k2=

2-2m2

4m2-1

∵t=3，∴k≠0，∴k2=

2-2m2

4m2-1

＞0
∴-1＜m＜-

1

2

或

1

2

＜m＜1
经检验符合①式
即所求m的取值范围为（-1，-

1

2

）∪（

1

2

，1）．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，正确运用韦达定理是关键．