Question

四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a，则该四面体的体积的最大值为（　　）

• A．

  3

  8

  a³
• B．

  2

  8

  a³
• C．

  1

  8

  a³
• D．

  1

  12

  a³

Answer 1

分析：由已知中一个四面体有五条棱长都等于2，我们易得该四面体必然有两个面为等边三角形，我们根据棱锥的几何特征，分析出当这两个平面垂直时，该四面体的体积最大，将相关几何量代入棱锥体积公式，即可得到答案．

解答：解：若一个四面体有五条棱长都等于a，
则它必然有两个面为等边三角形，如下图

由图结合棱锥的体积公式，
当这两个平面垂直时，底面积是定值，高最大，
故该四面体的体积最大，
此时棱锥的底面积S=

1

2

×a²×sin60°=

3

4

a2，
棱锥的高h=

3

2

a，
则该四面体的体积最大值为V=

1

3

×

3

4

a²×

3

2

a=

1

8

a3．
故选C．

点评：本题考查的知识点是棱锥的体积公式及其几何特征，其中根据棱锥的几何特征，分析出当这两个平面垂直时，该四面体的体积最大，是解答问题的关键．