Question

如图，已知圆O的直径AB=4，定直线L到圆心的距离为4，且直线L⊥直线AB。点P是圆O上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别交L与M、N点。试建立适当的直角坐标系，解决下列问题：

（1）若∠PAB=30°，求以MN为直径的圆方程；
（2）当点P变化时，求证：以MN为直径的圆必过圆O内的一定点。

Answer 1

（1）；（2）详见答案。

解析
试题分析：（1）建立如图所示的直角坐标系，⊙O的方程为，直线L的方程为。……2分
（1）∵∠PAB=30°，∴点P的坐标为，
∴，。将x=4代入，
得                   ……4分
。∴MN的中点坐标为（4，0），MN=。                      ……6分
∴以MN为直径的圆的方程为。同理，当点P在x轴下方时，所求圆的方程仍是。                                    ……8分
（2）设点P的坐标为，∴（），∴。
∵，将x=4代入，得，。                                        ……10分
∴，MN=。MN的中点坐标为。                                             ……12分
以MN为直径的圆截x轴的线段长度为
为定值。
∴⊙必过⊙O 内定点。                         ……16分
考点：本题考查了用解析法求圆的方程及性质。
点评：用待定系数法求圆的方程要注意两点：第一，究竟用标准方程还是一般方程要根据题设条件选择，选择得当，解法就简捷，选择不当，会增加解答的难度；第二，要注意适时运用几何知识列方程，这样可能大大减少运算量．