Question

【题目】已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y﹣29=0相切．
（Ⅰ）求圆的方程；
（Ⅱ）设直线ax﹣y+5=0（a＞0）与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数a，使得弦AB的垂直平分线l过点P（﹣2，4），若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设圆心为M（m，0）（m∈Z）．
由于圆与直线4x+3y﹣29=0相切，且半径为5，
所以 ，
即|4m﹣29|=25．因为m为整数，故m=1．
故所求圆的方程为（x﹣1）2+y2=25．
（Ⅱ）把直线ax﹣y+5=0，即y=ax+5，
代入圆的方程，消去y，
整理，得（a2+1）x2+2（5a﹣1）x+1=0，
由于直线ax﹣y+5=0交圆于A，B两点，
故△=4（5a﹣1）2﹣4（a2+1）＞0，
即12a2﹣5a＞0，
由于a＞0，解得a＞ ，
所以实数a的取值范围是（ ）．
（Ⅲ）设符合条件的实数a存在，
则直线l的斜率为 ，
l的方程为 ，
即x+ay+2﹣4a=0
由于l垂直平分弦AB，故圆心M（1，0）必在l上，
所以1+0+2﹣4a=0，解得 ．
由于 ，故存在实数
使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB．
【解析】（Ⅰ）设圆心为M（m，0）（m∈Z）．由于圆与直线4x+3y﹣29=0相切，且半径为5，所以 ，由此能求了圆的方程．（Ⅱ）把直线ax﹣y+5=0代入圆的方程，得（a2+1）x2+2（5a﹣1）x+1=0，由于直线ax﹣y+5=0交圆于A，B两点，故△=4（5a﹣1）2﹣4（a2+1）＞0，由此能求出实数a的取值范围．（Ⅲ）设符合条件的实数a存在，则直线l的斜率为 ，l的方程为 ，由于l垂直平分弦AB，故圆心M（1，0）必在l上，由此推导出存在实数 使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB．
【考点精析】利用圆的标准方程对题目进行判断即可得到答案，需要熟知圆的标准方程：；圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程．