Question

16．已知函数f（x）=asinx+b（a＜0）的最大值为3，最小值为-1．
（1）求实数a、b的值；
（2）求f（$\frac{2π}{3}$）；
（3）已知α∈[0，π]，且f（α）=0，求角α的值．

Answer 1

分析 （1）由正弦函数的有界性求出asinx+b的最值，再由f（x）的最大值、最小值列方程组，求出a、b的值．
（2）利用特殊角的三角函数值，即可得出结论；
（3）f（α）=-2sinα+1=0，sinα=$\frac{1}{2}$，即可得出结论．

解答 解：（1）∵-1≤sinx≤1，
当a＜0时，a≤asinx≤-a，
∴a+b≤asinx+b≤-a+b；
又∵f（x）的最大值为3，最小值为-1，
∴a+b=-1，-a+b=3，
∴a=-2，b=1；
（2）f（x）=-2sinx+1，
∴f（$\frac{2π}{3}$）=-$\sqrt{3}$+1；
（3）f（α）=-2sinα+1=0，∴sinα=$\frac{1}{2}$，
∵α∈[0，π]，∴α=$\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{6}$．

点评 本题考查了正弦函数的图象与性质的应用问题，解题时应根据正弦函数的有界性求出函数f（x）的最值表达式，从而解答问题，是中档题．