Question

【题目】已知数列{an}满足a1=1，Sn=2n﹣an（n∈N*）．
（1）计算a2 ， a3 ， a4 ， 并由此猜想通项公式an；
（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想．

Answer 1

【答案】
（1）解：当n=1时，a1=S1=1．

当n=2时，a1+a2=S2=2×2﹣a2，∴a2= ．

当n=3时，a1+a2+a3=S3=2×3﹣a3，∴a3= ．

当n=4时，a1+a2+a3+a4=S4=2×4﹣a4，∴a4= ，

由此猜想an= （n∈N*）

（2）解：证明：①当n=1时，a1=S1=1，结论成立．

②假设n=k（k≥1且k∈N*）时，结论成立，即ak=

那么n=k+1（k≥1且k∈N*）时，ak+1=Sk+1﹣Sk=2（k+1）﹣ak+1﹣2k+ak=2+ak﹣ak+1．

∴2ak+1=2+ak=2+ = ．

∴ak+1= ，

由①②可知，对n∈N*，an= 都成立

【解析】（1）根据Sn=2n﹣an ， 利用递推公式，求出a2 ， a3 ， a4 ． （2）总结出规律求出an ， 然后利用归纳法进行证明，检验n=1时等式成立，假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．