Question

10．已知$\frac{3π}{4}$＜α＜π，tanα+$\frac{1}{tanα}$=-$\frac{10}{3}$．
（1）求tanα的值；
（2）求g（α）=$\frac{sin（π+α）+4cos（2π-α）}{sin（\frac{π}{2}-α）-4sin（-α）}$的值．
（3）若β，γ均为锐角，tanγ=$\sqrt{3}$（m-3tanα），$\sqrt{3}$（tanγtanβ+m）+tanβ=0，求β+γ．

Answer 1

分析 （1）由α的范围，利用已知得3tan²α+10tanα+3=0，从而解得tanα的值．
（2）利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简g（α），由（1）即可计算求值得解．
（3）由（1）可得：tan$α=-\frac{1}{3}$，可求tanγ=$\sqrt{3}$（m+1），由$\sqrt{3}$（tanγtanβ+m）+tanβ=0，可求得tanβ，利用两角和的正切函数公式可求tan（β+γ）=$\sqrt{3}$，结合范围β+γ∈（0，π），即可得解β+γ的值．

解答 解：（1）由tanα+$\frac{1}{tanα}$=-$\frac{10}{3}$，得3tan²α+10tanα+3=0，
即tanα=-3，或tan$α=-\frac{1}{3}$，
又$\frac{3π}{4}$＜α＜π，tan$α=-\frac{1}{3}$．
（2）g（α）=$\frac{sin（π+α）+4cos（2π-α）}{sin（\frac{π}{2}-α）-4sin（-α）}$=$\frac{-sinα+4cosα}{cosα+4sinα}$=$\frac{-tanα+4}{1+4tanα}$=-13．
（3）∵由（1）可得：tan$α=-\frac{1}{3}$，
∴tanγ=$\sqrt{3}$（m-3tanα）=$\sqrt{3}$（m+1），
∵$\sqrt{3}$（tanγtanβ+m）+tanβ=0，
∴$\sqrt{3}$[（$\sqrt{3}$m+$\sqrt{3}$）tanβ+m]+tanβ=0，解得：tanβ=-$\frac{\sqrt{3}m}{3m+4}$，
∴tan（β+γ）=$\frac{tanβ+tanγ}{1-tanβtanγ}$=$\frac{（-\frac{\sqrt{3}m}{3m+4}）+\sqrt{3}（m+1）}{1-（-\frac{\sqrt{3}m}{3m+4}）（\sqrt{3}m+\sqrt{3}）}$=$\frac{3\sqrt{3}{m}^{2}+6\sqrt{3}m+4\sqrt{3}}{3{m}^{2}+6m+4}$=$\sqrt{3}$，
∵β，γ均为锐角，β+γ∈（0，π），
∴β+γ=$\frac{π}{3}$．

点评 本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式，两角和的正切函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，计算量较大，解题时要耐心细致，属于基础题．