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已知函数f(x)=|x-a|+
4
x

(1)若f(x)=2恰有两个实数根,求a的值;
(2)若?x∈(0,+∞)都有f(x)≥1恒成立,求a的范围.
考点:绝对值不等式的解法
专题:不等式的解法及应用
分析:(1)由题意可得,函数y=|x-a|的图象(蓝色部分)和函数y=2-
4
x
的图象(红色部分)由2个交点,数形结合求得a的范围.
(2)由题意可得,对?x∈(0,+∞),fmin(x)≥1.再分①若a≤0和②若a>0两种情况,分别求得a的范围,综合可得结论.
解答: 解:(1)对于函数f(x)=|x-a|+
4
x

若f(x)=2恰有两个实数根,
则函数y=|x-a|的图象(蓝色部分)和函数y=2-
4
x
的图象
(红色部分)由2个交点.
如图所示:故有a≥2.
(2)若?x∈(0,+∞)都有f(x)≥1恒成立,
故fmin(x)≥1.
①若a≤0,由函数f(x)=|x-a|+
4
x
=x-a+
4
x
≥4-a≥1,
求得a≤3,故有a≤0.
②若a>0,当x≥a时,f(x)=x+
4
x
-a≥4-a≥1,∴a≤3,故有0<a≤3.
当0<x<a时,f(x)=a-x+
4
x
 在(0,a)上是减函数,∴f(x)>
4
a
≥1,求得a≤4,故有0<a≤4.
综上可得,a≤3.
点评:本题主要考查带有绝对值的函数,基本不等式的应用,函数的恒成立问题,体现了转化、分类讨论的数学思想,属于基础题.
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1
x
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1
x
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1
x
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x
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3
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x2
a2
+
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b2
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1
2
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3
3
2
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5
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