Question

12．已知△ABC中，${\overrightarrow{AB}^2}-（\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{BA}）=\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$，边AB，BC的中点分别为D，E．
（1）判断△ABC的形状；
（2）若$\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{AE}$=0，求sin2B的值．

Answer 1

分析 （1）根据向量的加减运算法则，将已知化简，结合向量数量积的运算性质，可得 CA⊥CB，得△ABC是直角三角形，
（2）构建直角坐标系，求出sinB，再根据二倍角公式即可求出．

解答 解：（1）由题设得$\overrightarrow{AB}•（\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}）=\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$
又在△ABC中，$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow 0$，
即$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow 0$
∴$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}=0$，即AC⊥BC
∴△ABC为直角三角形
（2）运用坐标法，如图建立平面直角坐标系．

设A（a，0），B（0，b），则$E（0，\frac{b}{2}），D（\frac{a}{2}，\frac{b}{2}）$，
∴$\overrightarrow{CD}=（\frac{a}{2}，\frac{b}{2}）$$\overrightarrow{AE}=（-a，\frac{b}{2}）$，
∴由$\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{AE}=0$得$-\frac{a^2}{2}+\frac{b^2}{4}=0$，
∴$b=\sqrt{2}a$
∴$sinB=\frac{{|{\overrightarrow{AC}}|}}{{|{\overrightarrow{AB}}|}}=\frac{a}{{\sqrt{{a^2}+{b^2}}}}=\frac{a}{{\sqrt{3{a^2}}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
∴$cosB=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$于是有$sin2B=2sinBcosB=2×\frac{{\sqrt{3}}}{3}×\frac{{\sqrt{6}}}{3}=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$

点评 本题给出三角形ABC中的向量等式，判断三角形的形状，着重考查了向量的加减法则、数量积的定义与运算性质等知识，以及同角的三角形函数的关系和二倍角公式，属于中档题．