Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c，（a，b，c∈R）满足：对任意实数x，都有f（x）≥x，且当x∈（1，3）时，有f(x)≤

1

8

(x+2)2成立．
（1）证明：f（2）=2；
（2）若f（-2）=0，求f（x）的表达式．

Answer 1

分析：（1）由f（x）≥x得f（2）≥2因为当x∈（1，3）时，有f（x）≤

1

8

(x+2)2成立，所以f（2）≤

1

8

(2+2)2=2．从而求得f（2）的值即可；
（2）由

f(2)=2  f(-2)=0

得出a，b，c的关系式，于是f（x）=ax²+

1

2

x+1-4a，结合f（x）≥x?ax²-

1

2

x+1-4a≥0．结合方程的思想求得a值即可得出f（x）的表达式．

解答：证明：（1）由f（x）≥x得f（2）≥2．…（2分）
因为当x∈（1，3）时，有f（x）≤

1

8

(x+2)2成立，所以f（2）≤

1

8

(2+2)2=2．
所以f（2）=2．…（4分）
解：（2）由

f(2)=2  f(-2)=0

得

4a+2b+c=2 4a-2b+c=0

从而有b=

1

2

，c=1-4a．于是f（x）=ax²+

1

2

x+1-4a．…（7分）
f（x）≥x?ax²-

1

2

x+1-4a≥0．
若a=0，则-

1

2

x+1≥0不恒成立．
所以

a＞0                         (- 1 2 )2-4a(1-4a)≤0

即

a＞0            (4a- 1 2 )2≤0

解得a=

1

8

．…（11分）
当a=

1

8

时，f（x）=

1

8

x2+

1

2

x+

1

2

=

1

8

(x+2)2
满足f（x）≤

1

8

(x+2)2(x∈(1，  3))．…（12分）
故f（x）=

1

8

x2+

1

2

x+

1

2

．…（14分）

点评：本题主要考查一元二次函数的性质，以及函数的图象问题、函数与方程的综合运用，这是一道思维性很强的题，有很多同学思考不到位．