Question

4．在平行四边形ABCD中，∠CBD=90°，BC=BD=1，将平行四边形沿对角线BD折成60°的二面角（如图中实线部分）．求：
（Ⅰ）A、C两点间的距离；
（Ⅱ）异面直线AC与BD所成的角．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由$|\overrightarrow{AC}{|}^{2}$=|$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BC}$|²，∠CBD=90°，BC=BD=1，ABCD为平行四边形，从而|$\overrightarrow{AD}$|=|$\overrightarrow{DB}$|=|$\overrightarrow{BC}$|=1，且$\overrightarrow{AD}⊥\overrightarrow{DB}$，$\overrightarrow{DB}⊥\overrightarrow{BC}$，＜$\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{BC}$＞=120°，由此能求出A、C两点间的距离．
（2）设＜$\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{BD}$＞=θ，则cosθ=$\frac{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}}{|\overrightarrow{AC}|•|\overrightarrow{BD}|}$=-$\frac{\overrightarrow{DC}•\overrightarrow{DB}}{\sqrt{2}}$，由∠CBD=90°，BC=BD=1，得＜$\overrightarrow{DC}，\overrightarrow{DB}$＞=45°，由此能求出异面直线AC与BD所成的角．

解答 解：（Ⅰ）$|\overrightarrow{AC}{|}^{2}$=|$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BC}$|²
=|$\overrightarrow{AD}$|²+|$\overrightarrow{DB}$|²+|$\overrightarrow{BC}$|²+2$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{DB}$+2$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}$+2$\overrightarrow{DB}•\overrightarrow{BC}$，
∵∠CBD=90°，BC=BD=1，ABCD为平行四边形，
∴|$\overrightarrow{AD}$|=|$\overrightarrow{DB}$|=|$\overrightarrow{BC}$|=1，且$\overrightarrow{AD}⊥\overrightarrow{DB}$，$\overrightarrow{DB}⊥\overrightarrow{BC}$，
∵二面角A-BD-C为60°，∴＜$\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{BC}$＞=120°，
∴$|\overrightarrow{AC}{|}^{2}$=|$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BC}$|²
=1+1+1+2×1×1×cos120°
=2，
∴|$\overrightarrow{AC}$|=$\sqrt{2}$．
∴A、C两点间的距离为$\sqrt{2}$．
（2）设＜$\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{BD}$＞=θ，
则cosθ=$\frac{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}}{|\overrightarrow{AC}|•|\overrightarrow{BD}|}$=$\frac{（\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}）•\overrightarrow{BD}}{\sqrt{2}}$
=$\frac{\overrightarrow{DC}•\overrightarrow{BD}}{\sqrt{2}}$=-$\frac{\overrightarrow{DC}•\overrightarrow{DB}}{\sqrt{2}}$，
在△CBD中，∠CBD=90°，BC=BD=1，
∴＜$\overrightarrow{DC}，\overrightarrow{DB}$＞=45°，
∴cosθ=-$\frac{\overrightarrow{DC}•\overrightarrow{DB}}{\sqrt{2}}$=-$\frac{|\overrightarrow{DC}|•|\overrightarrow{DB}|•cos45°}{\sqrt{2}}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴异面直线AC与BD所成的角为45°．

点评 本题考查两点间距离的求法，考查异面直线所成角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．