Question

20．如图，在三棱锥A-BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD＝，BD＝CD＝1．另一个侧面ABC是正三角形．

  (1)求证：AD⊥BC；

  (2)求二面角B-AC-D的大小；

  (3)在线段AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成30°角?若存在,确定点E的位置；若不存在，说明理由．

Answer 1

解法一：

（1）方法一：作AH⊥面BCD于H，连DH.AB⊥BDHB⊥BD，∵AD=，BD=1

∴AB==BC=AC  ∴BD⊥DC

又BD=CD，则BHCD是正方形.

则DH⊥BC.∴AD⊥BC.

方法二：取BC的中点O，连AO、DO，则有AO⊥BC，DO⊥BC.

∴BC⊥面AOD，∴BC⊥AD.

(2)作BM⊥AC于M，作MN⊥AC交AD于N，

则∠BMN就是二面角B-AC-D的平面角.

∵AB=AC=BC=，∴M是AC的中点，且MN∥CD.

则BM=，MN=CD=，BN=AD=.

由余弦定理得cos∠BMN=,∴∠BMN=arccos.

(3)设E为所求的点，作EF⊥CH于F，连FD.则EF∥AH,

∴EF⊥面BCD，∠EDF就是ED与面BCD所成的角，则∠EDF=30°.

设EF=x，易得AH=HC=1，则CF=x，FD=.

∴tan∠EDF=,解得x=,则CE=x=1.

故线段AC上存在E点，且CE=1时，ED与面BCD成30°角.

解法二：

（1）作AH⊥面BCD于H，连BH、CH、DH，则四边形BHCD是正方形，且AH=1，

以D为原点，以DB为x轴，DC为y轴建立空间直角坐标系如图，

则B(1,0,0),C(0,1,0),A(1,1,1).

=（-1，1，0），=(1,1,1),

∴·=0，则BC⊥AD.

(2)设平面ABC的法向量为=(x,y,z),

   则由知：= -x+y=0；

   同理由知=x+z=0.

   可取=（1，1，-1）.

   同理，可求得平面ACD的一个法向量为=(1,0,-1).

由图可以看出，二面角B-AC-D的大小应等于<，>

  则cos<，>=,即所求二面角的大小是arccos.

(3)设E(x,y,z)是线段AC上一点，则x=z＞0,y=1,

  平面BCD的一个法向量为=(0,0,1),=(x,1,x),

  要使ED与面BCD成30°角，由图可知与的夹角为60°，

  所以cos<,>=

则2x=,解得，x=,则CE=x=1.

故线段AC上存在E点，且CE=1时，ED与面BCD成30°角.