Question

4．已知直线y=kx（k∈R）与函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{3-（\frac{1}{4}）^{x}（x≤0）}\\{\frac{1}{2}{x}^{2}+2（x＞0）}\end{array}\right.$的图象恰有三个不同的公共点，则实数k的取值范围是（　　）

• A． （$\frac{3}{2}$，+∞）
• B． （-∞，-2）∪（2，+∞）
• C． （-∞，-2）
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 当x＞0时，如图：设切点为（a，f（a）），求出切线的斜率即可求出实数k的最大值．

解答 解：当x＞0时，如图：设切点为（a，f（a））．
∵f′（x）=x，
∴$\frac{\frac{1}{2}{a}^{2}+2}{a}$=a，
解得a=2，
∴k=f′（2）=2，
当k＞2时，且x＞0，y=kx与y=$\frac{1}{2}$x²+2有两个交点，
当x＜0时，y=kx，与y=3-（$\frac{1}{4}$）总有一个交点，
∴k＞2，
故选：D

点评 本题考查抽象函数及其应用，着重考查函数的零点与方程根的关系，考查转化思想与作图能力，属于中档题．