【题目】一酒企为扩大生产规模，决定新建一个底面为长方形
的室内发酵馆，发酵馆内有一个无盖长方体发酵池，其底面为长方形
(如图所示)，其中
.结合现有的生产规模，设定修建的发酵池容积为450米
，深2米.若池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元，发酵池造价总费用不超过65400元
（1）求发酵池
边长的范围；
（2）在建发酵馆时，发酵池的四周要分别留出两条宽为4米和
米的走道（为常数）.问:发酵池的边长如何设计，可使得发酵馆占地面积最小.
【答案】（1）
（2）当
时，
，
米时，发酵馆的占地面积最小；当
时，
时，发酵馆的占地面积最小；当
时，
米时，发酵馆的占地面积最小.
【解析】
（1）设
米，总费用为
，解
即可得解；
（2）结合（1）可得占地面积
结合导函数分类讨论即可求得最值.
（1）由题意知:矩形
面积
米
，
设米，则
米，由题意知:
，得
，
设总费用为
，
则
，
解得:
，又，故
，
所以发酵池
边长的范围是不小于15米，且不超过25米；
（2）设发酵馆的占地面积为
由（1）知:
， 
①时，
，在
上递增，则
，即米时，发酵馆的占地面积最小；
②时，
，在上递减，则
，即
米时，发酵馆的占地面积最小；
③时，
时，
，递减；
时，
递增，
因此
，即时，发酵馆的占地面积最小；
综上所述：当时，，米时，发酵馆的占地面积最小；当时，时，发酵馆的占地面积最小；当时，米时，发酵馆的占地面积最小.
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【题目】已知椭圆
，四点
、
、
、
中恰有三点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知点
是椭圆的右顶点，作一条平行于
的直线
交椭圆于
、
两点，记直线
和直线
的斜率分别为
、
，试判断
是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
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【题目】曲线
的参数方程为
（
为参数），以原点
为极点，
轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线
的极坐标方程为
.
(1)求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；
(2)若直线
与曲线，的交点分别为
、
（、异于原点），当斜率
时，求
的最小值.
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【题目】为庆祝新中国成立七十周年，巴蜀中学将举行“歌唱祖国，喜迎国庆”歌咏比赛活动，《歌唱祖国》，《精忠报国》，《我和我的祖国》等一系列歌曲深受同学们的青睐，高二某班级就该班是否选择《精忠报国》作为本班参赛曲目进行投票表决，投票情况如下表.
小组 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
赞成人数 | 4 | 5 | 6 | 6 | 5 | 6 | 4 | 3 |
总人数 | 7 | 7 | 8 | 8 | 7 | 7 | 6 | 6 |
（1）若从第1小组和第8小组的同学中各随机选取2人进行调查，求所选取的4人中至少有2人赞成《精忠报国》作为本班参赛曲目的概率；
（2）若从第5小组和第7小组的同学中各随机选取2人进行调查，记选取的4人中不赞成《精忠报国》作为本班参赛曲目的人数为
，求随机变量的分布列和数学期望.
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【题目】如图，在三棱锥
中，N为CD的中点，M是AC上一点.
（1）若M为AC的中点，求证：AD//平面BMN；
（2）若
，平面
平面BCD,
，求直线AC与平面BMN所成的角的余弦值。
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【题目】设圆
的圆心为
，直线
过点
且与
轴不重合， 
交圆
于
两点，过
作
的平行线交
于点
.
（1）证明
为定值，并写出点
的轨迹方程；
（2）设
，过点
作直线
，交点
的轨迹于
两点 (异于
),直线
的斜率分别为
，证明： 
为定值.
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