Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足a_n+3S_n•S_n-1=0（n≥2，n∈N^*），a₁=

1

3

，则数列{a_n}的通项公式a_n=

 

．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：根据数列的递推关系构造等差数列，利用a_n与S_n的关系即可求出数列的通项公式．

解答： 解：由a_n+3S_n•S_n-1=0得a_n=-3S_n•S_n-1，
当n≥2时，a_n=-3S_n•S_n-1=S_n-S_n-1，
∵a₁=

1

3

，∴S_n•S_n-1≠0，
等式两边同时除以S_n•S_n-1得

1

Sn

-

1

Sn-1

=3，
即{

1

Sn

}是以3为首项，3为公差的等差数列，
则

1

Sn

=3+3（n-1）=3n，
即S_n=

1

3n

，则a_n=-3S_n•S_n-1=-

1

3n(n-1)

，n≥2，
∵a₁=

1

3

不满足a_n=-

1

3n(n-1)

，n≥2，
∴数列的通项公式a_n=

1 3 ， n=1 - 1 3n(n-1) ， n≥2

，
故答案为：

1 3 ， n=1 - 1 3n(n-1) ， n≥2

．

点评：本题主要考查数列通项公式的求解，利用数列的递推关系结合a_n与S_n的关系是解决本题的关键．