Question

设a＞1，函数f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax，x∈[0，2]．
（1）若f（x）在[1，2]上不单调，求a的取值范围；
（2）令M（a）为f（x）的最大值，求M（a）的表达式．

Answer 1

分析：（1）对函数求导，求出函数的单调区间，根据函数的单调区间得到若f（x）在[1，2]上不单调，只要极值点出现在这个区间就可以，得到1＜a＜2．
（2）根据定义的M（a）为f（x）的最大值，写出不同区间上的表示式，根据不同区间上的表示式，写出分段函数．

解答：解：由于f'（x）=6x²-6（a+1）x+6a=6（x-1）（x-a），
注意到a＞1，所以f（x）在（0，1），（a，+∞）上递增，（1，a）上递减．
（1）根据f（x）的单调性，若f（x）在[1，2]上不单调，则1＜a＜2；
（2）根据f（x）的单调性，下面按a与2的大小关系分类：
①当1＜a≤2时，M（a）=maxf（1），
f（2）=max{3a-1，4}=

4，1＜a≤ 5 3 3a-1 5 3 ＜a≤2.

；
②当a＞2时，M（a）=f（1）=3a-1．
综上所述，M(a)═

4，1＜a≤ 5 3 3a-1，a＞ 5 3 .

点评：本题考查导数与函数的单调性，最值，本题解题的关键是看清题干中所给的a大于1的条件，写出正确的单调区间．