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    数列{an}满足：a1=1，且对任意的m，n∈N*都有：am+n=am+an+mn，则
    1
    a1
    +
    1
    a2
    +
    1
    a3
    +…+
    1
    a2008
    =（　　）
    A、
    2007
    2008
    B、
    2007
    1004
    C、
    2008
    2009
    D、
    4016
    2009
    分析：先令n=1找递推关系并求通项公式，再利用通项的特征求和，或用不完全归纳法猜测an，再求和．
    解答：解一：因为an+m=an+am+mn，则可得a1=1，a2=3，a3=6，a4=10，则可猜得数列的通项an=
    n(n+1)
    2
    ，
    ∴
    1
    an
    =
    2
    n(n+1)
    =2（
    1
    n
    -
    1
    n+1
    ），
    ∴
    1
    a1
    +
    1
    a2
    +
    1
    a3
    ++
    1
    a2008
    =2（1-
    1
    2
    +
    1
    2
    -
    1
    3
    ++
    1
    2008
    -
    1
    2009
    ）=2（1-
    1
    2009
    ）=
    4016
    2009

    故选D
    解二：令n=1，得an+1=a1+an+n=1+an+n，∴an+1-an=n+1
    用叠加法：an=a1+（a2-a1）+…+（an-an-1）=1+2+…+n=
    n(n+1)
    2

    所以
    1
    an
    =
    2
    n(n+1)
    =2(
    1
    n
    -
    1
    n+1
    )
    于是
    1
    a1
    +
    1
    a2
    +…+
    1
    a2008
    =2(1-
    1
    2
    ) +2(
    1
    2
    -
    1
    3
    ) +…+2(
    1
    2008
    -
    1
    2009
    )    =2(1-
    1
    2009
    )    =
    4016
    2009

    故选D
    点评：对于数列问题，应尽可能知道其通项，才能根据其特征采取相应的求和办法．如本题为裂项相消求和．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设数列{an}满足a1=a，an+1=can+1-c（n∈N*），其中a，c为实数，且c≠0．
    （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
    （Ⅱ）设a=
    1
    2
    ，c=
    1
    2
    ，bn=n(1-an)(n∈N*)    ，求数列{bn}的前n项和Sn．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    数列{an}满足a1=a，an+1=
    an+3
    2
    ，n=1，2，3，…．
    （Ⅰ）若an+1=an，求a的值；
    （Ⅱ）当a=
    1
    2
    时，证明：an＜
    3
    2
    ；
    （Ⅲ）设数列{an-1}的前n项之积为Tn．若对任意正整数n，总有（an+1）Tn≤6成立，求a的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2011•天津模拟）设数列{an}满足a1=a，an+1=can+1-c（n∈N*），其中a，c为实数，且c≠0．
    （1）求证：a≠1时数列{an-1}是等比数列，并求an；
    （2）设a=
    1
    2
    c=
    1
    2
    ，bn=n(1-an)(n∈N*)    ，求数列{bn}的前n项和Sn；
    （3）设a=
    3
    4
    ，c=-
    1
    4
    ，cn=
    3+an
    2-an
    (n∈N*)，记dn=c2n-c2n-1(n∈N*)    ，设数列{dn}的前n项和为Tn，求证：对任意正整数n都有Tn＜
    5
    3
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2009•大连二模）已知a为实数，数列{an}满足a1=a，当n≥2时，an=
    an-1-4 (an-1＞4)
    5-an-1 (an-1≤4)

    （I）当a=200时，填写下列表格；
    N 2 3 51 200
    an
    （II）当a=200时，求数列{an}的前200项的和S200；
    （III）令b n=
    an
    (-2)n
    ，Tn=b1+b2…+bn求证：当1＜a＜
    5
    3
    时，T n＜
    5-3a
    3
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知常数a、b都是正整数，函数f(x)=
    x
    bx+1
    （x＞0），数列{an}满足a1=a，
    1
    an+1
    =f(
    1
    an
    )    （n∈N*）
    （1）求数列{an}的通项公式；
    （2）若a=8b，且等比数列{bn}同时满足：①b1=a1，b2=a5；②数列{bn}的每一项都是数列{an}中的某一项．试判断数列{bn}是有穷数列或是无穷数列，并简要说明理由；
    （3）对问题（2）继续探究，若b2=am（m＞1，m是常数），当m取何正整数时，数列{bn}是有穷数列；当m取何正整数时，数列{bn}是无穷数列，并说明理由．

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