Question

12．数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n+a_n=-$\frac{1}{2}$n²-$\frac{3}{2}$n+1（n∈N^*）．
（Ⅰ）设b_n=a_n+n，证明：数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{（2n-3）b_n}的前n项和T_n，并证明T_n$∈[-\frac{1}{2}，1）$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用数列的通项和前n项和的关系，可得2（a_n+n）=a_n-1+n-1，结合条件和等比数列的定义即可得证；
（Ⅱ）运用数列的求和方法：错位相减法，可得前n项和T_n，再由单调性结合不等式的性质即可得证．

解答 解：（I）证明：因为S_n+a_n=-$\frac{1}{2}$n²-$\frac{3}{2}$n+1（n∈N^*），
所以 ①当n=1时，2a₁=-1，则a₁=-$\frac{1}{2}$，
②当n≥2时，S_n-1+a_n-1=-$\frac{1}{2}$（n-1）²-$\frac{3}{2}$（n-1）+1，
所以2a_n-a_n-1=-n-1，即2（a_n+n）=a_n-1+n-1，
所以b_n=$\frac{1}{2}$b_n-1（n≥2），而b₁=a₁+1=$\frac{1}{2}$，
所以数列{b_n}是首项为$\frac{1}{2}$，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列，
所以b_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿ；
（II）证明：由（1）得$（2n-3）{b_n}=\frac{2n-3}{2^n}$．
所以 ①${T_n}=\frac{-1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{3}{2^2}+…+\frac{2n-5}{{{2^{n-1}}}}+\frac{2n-3}{2^n}$，
②$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{-1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{3}{2^4}+…+\frac{2n-7}{{{2^{n-1}}}}+\frac{2n-5}{2^n}+\frac{2n-3}{{{2^{n+1}}}}$，
②-①得：$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{-1}{2}+2（\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+…+\frac{1}{{{2^{n-1}}}}+\frac{1}{2^n}）-\frac{2n-3}{{{2^{n+1}}}}$
=$\frac{1}{2}-\frac{2n+1}{{{2^{n+1}}}}$，
${T_n}=1-\frac{2n+1}{2^n}$，
因为T_n-T_n+1=$\frac{2n+3}{{{2^{n+1}}}}-\frac{2n+1}{2^n}=-\frac{2n-1}{{{2^{n+1}}}}$＜0，
所以数列{T_n}是单调递增数列，
故${T_n}≥{T_1}=-\frac{1}{2}$，又$\frac{2n+1}{2^n}＞0$，故T_n＜1，
综上$-\frac{1}{2}≤{T_n}＜1$，即T_n$∈[\frac{1}{2}，1）$．

点评 本题考查等比数列的定义的运用，考查数列的通项和求和的关系，考查数列的求和方法：错位相减法，以及数列的单调性，属于中档题．