Question

【题目】某大型超市抽查了100天该超市的日纯利润数据，并将日纯利润数据分成以下几组（单位：万元）：，，，，，，统计结果如下表所示：

组别
频数	5	20	30	30	10	5

以上述样本分布的频率估计总体分布的概率，解决下列问题：

（1）从该大型超市近几年的销售记录中抽出5天，求其中日纯利润在区间内的天数不少于2的概率；

（2）该超市经理由频数分布表可以认为，该大型超市每天的纯利润服从正态分布，其中，近似为样本平均数（每组数据取区间的中点值）.

①试利用该正态分布，估计该大型超市1000天内日纯利润在区间内的天数（精确到个位）；

②该大型超市负责人根据每日的纯利润给超市员工制定了两种不同的奖励方案：

方案一：直接发放奖金，日纯利润低于时每名员工发放奖金70元，日纯利润不低于时每名员工发放奖金90元；

方案二：利用抽奖的方式获得奖金，其中日纯利润不低于时每位员工均有两次抽奖机会，日纯利润低于时每位员工只有一次抽奖机会；每次抽奖的奖金及对应的概率分别为

金额	50元	100元
概率

小张恰好为该大型超市的一名员工，则从数学期望的角度看，小张选择哪种奖励方案更有利？

参考数据：若，则，.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②奖励方案二.

【解析】

（1）由频数分布表可知，日纯利润在区间内的频率为，基于“用样本频率估计总体分布的概率”的思想，可知日纯利润在区间内的频率为，记其中日纯利润不低于5万元且低于7万元的天数为，则，基于二项分布的性质即可求解；

（2）①基于正态分布的原则及其性质即可求解；

②首先计算方案一的数学期望，其次针对方案二，列出随机变量的分布列，计算出方案二的数学期望，比较两方案的结果，判断出选择方案二更有利.

（1）由频数分布表可知，日纯利润在区间内的频率为，

记其中日纯利润不低于5万元且低于7万元的天数为，则.

所求的概率.

（2）①，.又，

.

故该大型超市1000天内日纯利润在区间的天数为.

②易知.

对于奖励方案一：设小张每日奖金金额为，则的可能取值为70，90，其对应的概率均为，故.

对于奖励方案二：设小张每日奖金金额为，则的所有可能取值为50，100，150，200.

；

；

；

.

的分布列为

	50	100	150	200

.，

从数学期望的角度看，小张选择奖励方案二更有利.