Question

（2012•海淀区二模）将一个正整数n表示为a₁+a₂+…+a_p（p∈N*）的形式，其中a_i∈N*，i=1，2，…，p，且a₁≤a₂≤…≤a_p，记所有这样的表示法的种数为f（n）（如4=4，4=1+3，4=2+2，4=1+1+2，4=1+1+1+1，故f（4）=5）．
（Ⅰ）写出f（3），f（5）的值，并说明理由；
（Ⅱ）对任意正整数n，比较f（n+1）与

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[f(n)+f(n+2)]的大小，并给出证明；
（Ⅲ）当正整数n≥6时，求证：f（n）≥4n-13．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题意，3=3，3=1+2，3=1+1+1，可求得f（3）=3；同理可求得f（5）=7；
（Ⅱ）结论是f（n+1）≤

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[f（n）+f（n+2）]．可用分析法，只需证f（n+1）-f（n）≤f（n+2）-f（n+1）；通过构造函数的思想分析即可；
（Ⅲ）由第（Ⅱ）问可知：当正整数m≥6时，f（m）-f（m-1）≥f（m-1）-f（m-2）≥…≥f（6）-f（5）；而f（6）=11，f（5）=7，于是 f（m）-f（m-1）≥4*；分别取m为6，7，…，n，将所得等式相加即可．

解答：解：（Ⅰ）因为3=3，3=1+2，3=1+1+1，所以f（3）=3．
因为5=5，5=2+3，5=1+4，5=1+1+3，5=1+2+2，5=1+1+1+2，5=1+1+1+1+1，
所以f（5）=7．
（Ⅱ）结论是f（n+1）≤

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[f（n）+f（n+2）]．
证明如下：由结论知，只需证f（n+1）-f（n）≤f（n+2）-f（n+1）．
因为n+1≥2，把n+1的一个表示法中a₁=1的a₁去掉，就可得到一个n的表示法；反之，在n的一个表示法前面添加一个“1+”，就得到一个n+1的表示法，即n+1的表示法中a₁=1的表示法种数等于n的表示法种数，
所以f（n+1）-f（n）表示的是n+1的表示法中a₁≠1的表示法数，f（n+2）-f（n+1）是n+2的表示法中a₁≠1的表示法数．
同样，把一个a₁≠1的n+1的表示法中的a_p加上1，就可得到一个a₁≠1的n+2的表示法，这样就构造了从a₁≠1的n+1的表示法到a₁≠1的n+2的表示法的一个对应．
所以有f（n+1）-f（n）≤f（n+2）-f（n+1）．
（Ⅲ）由第（Ⅱ）问可知：
当正整数m≥6时，f（m）-f（m-1）≥f（m-1）-f（m-2）≥…≥f（6）-f（5）．
又f（6）=11，f（5）=7，所以 f（m）-f（m-1）≥4．*
对于*式，分别取m为6，7，…，n，将所得等式相加得f（n）-f（5）≥4（n-5）．
即f（n）≥4n-13．

点评：本题考查不等式的证明，考查创新思维与抽象思维的高度结合，考查构造函数思想与推理论证的能力，属于难题．