Question

已知f（x）为R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x²-4x+3．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）作出f（x）的图象并根据图象讨论关于x的方程：f（x）-c=0（c∈R）根的个数．

Answer 1

解：（1）当x＜0时，-x＞0，∵f（x）为R上的奇函数，∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）=-f（-x）=-[（-x）²-4（-x）+3]=-x²-4x-3，即f（x）=-x²-4x-3．
当x=0时，由f（-x）=-f（x），得f（0）=0．
所以f（x）=．
（2）作图（如图所示），由f（x）-c=0得：c=f（x），在图中做出y=c，根据交点的情况即可得方程的根的情况：
当c≥3或c≤-3时，方程有一个根；当1＜c＜3或-3＜c＜-1时，方程有2个根；当c=-1或c=1时，方程有3个根；当0＜c＜1或-1＜c＜0时，方程有4个根；c=0，方程有5个根．
分析：（1）只需求出x≤0时的表达式即可．设x＜0，则-x＞0，求出f（-x），根据奇函数得出f（x）与f（-x）的关系，从而求得f（x）；当x=0时由奇函数性质可得f（0）=0．
（2）作出函数f（x）的图象，问题转化为函数y=f（x）与y=c图象的交点个数问题．
点评：本题考查函数解析式的求解及函数作图，方程根的个数问题常转化为函数图象的交点问题，要深刻理解函数与方程思想在本题中的应用．