Question

抛物线方程为y²=p（x+1）（p＞0），直线x+y=m与x轴的交点在抛物线的准线的右边．
（1）求证：直线与抛物线总有两个交点；
（2）设直线与抛物线的交点为Q、R，OQ⊥OR，
求p关于m的函数f（m）的表达式；
（3）在（2）的条件下，若抛物线焦点F到直线x+y=m的距离为

2

2

，
求此直线的方程．

Answer 1

分析：（1）抛物线y²=p（x+1）的准线方程是x=-1-

p

4

，直线x+y=m与x轴的交点为（m，0），由题设交点在准线右边，得4m+p+4＞0．由

y2=p(x+1) x+y=m

，得x²-（2m+p）x+（m²-p）=0．由此得到直线与抛物线总有两个交点．
（2）设Q、R两点的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），由（1）知，x₁、x₂是方程x²-（2m+p）x+m²-p=0的两根，所以x₁+x₂=2m+p，x₁•x₂=m²-p．由OQ⊥OR，得k_OQ•k_OR=-1，因而y₁=-x₁+m，y₂=-x₂+m．由此能求出函数f（m）的表达式．
（3）由于抛物线y²=p（x+1）的焦点F坐标为（-1+

p

4

，0），得|p-4m-4|=4．由p=

m2

m+2

，知|

3m2+12m+8

m+2

|=4．由此能够推导出所求的直线方程．

解答：解：（1）抛物线y²=p（x+1）的准线方程是x=-1-

p

4

，
直线x+y=m与x轴的交点为（m，0），
题设交点在准线右边，
得m＞-1-

p

4

，即4m+p+4＞0．
由

y2=p(x+1) x+y=m

，
得x²-（2m+p）x+（m²-p）=0．
而判别式△=（2m+p）²-4（m²-p）=p（4m+p+4）．
又p＞0及4m+p+4＞0，
可知△＞0．
因此，直线与抛物线总有两个交点；                  …（4分）
（2）设Q、R两点的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），
由（1）知，x₁、x₂是方程x²-（2m+p）x+m²-p=0的两根，
∴x₁+x₂=2m+p，x₁•x₂=m²-p．
由OQ⊥OR，得k_OQ•k_OR=-1，
即有x₁x₂+y₁y₂=0．
又Q、R为直线x+y=m上的点，
因而y₁=-x₁+m，y₂=-x₂+m．
于是x₁x₂+y₁y₂=2x₁x₂-m（x₁+x₂）+m²=2（m²-p）-m（2m+p）+m²=0，
∴p=f（m）=

m2

m+2

，
由

p＞0 4m+4+p＞0

，
得m＞-2，m≠0；…（9分）
（3）由于抛物线y²=p（x+1）的焦点F坐标为（-1+

p

4

，0），
于是有

|-1+ p 4 +0-m|

2

=

2

2

，
即|p-4m-4|=4．
又p=

m2

m+2

，
∴|

3m2+12m+8

m+2

|=4．
解得m₁=0，m₂=-

8

3

，m₃=-4，m₄=-

4

3

．
但m≠0且m＞-2，因而舍去m₁、m₂、m₃，
故所求直线方程为3x+3y+4=0．…（14分）

点评：本题主要考查抛物线标准方程，简单几何性质，直线与抛物线的位置关系．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．