Question

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)A，B为椭圆C上满足△AOB的面积为的任意两点，E为线段AB的中点，射线OE交椭圆C于点P.设＝t，求实数t的值．

Answer 1

（1）＋y²＝1（2）t＝2或t＝

(1)设椭圆C的方程为＝1(a＞b＞0)，
由题意知解得 
因此椭圆C的方程为＋y²＝1.
(2)(ⅰ)当A，B两点关于x轴对称时，设直线AB的方程为x＝m.
由题意得－＜m＜0或0＜m＜.
将x＝m代入椭圆方程＋y²＝1，得|y|＝.
所以S_△AOB＝|m|·＝.解得m²＝或m²＝.①
因为＝t＝t(＋)＝t(2m,0)＝(mt,0)，
又P为椭圆C上一点，所以＝1.②
由①②，得t²＝4或t²＝，
又t＞0，所以t＝2或t＝.
(ⅱ)当A，B两点关于x轴不对称时，设直线AB的方程为y＝kx＋h.
将其代入椭圆的方程＋y²＝1，得
(1＋2k²)x²＋4khx＋2h²－2＝0.设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)．
由判别式Δ＞0可得1＋2k²＞h²，
此时x₁＋x₂＝－，x₁x₂＝，
y₁＋y₂＝k(x₁＋x₂)＋2h＝，
所以|AB|＝.
因为点O到直线AB的距离d＝，
所以S_△AOB＝|AB|d＝×2×××＝××|h|.
又S_△AOB＝，所以××|h|＝.③
令n＝1＋2k²，代入③整理得3n²－16h²n＋16h⁴＝0.
解得n＝4h²或n＝h²，即1＋2k²＝4h²或1＋2k²＝h².④
因为＝t＝t(＋)＝t(x₁＋x₂，y₁＋y₂)＝，
又P为椭圆C上一点，
所以t²＝1，即＝1.⑤
将④代入⑤，得t²＝4或t²＝.
又t＞0，故t＝2或t＝.
经检验，适合题意．
综合(ⅰ)(ⅱ)，得t＝2或t＝