Question

12．已知{a_n}是公差不为0的等差数列，a₁=1，且a₁，a₃，a₉成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$，求证：数列{b_n}的前n项和S_n＜1．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．
（2）利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 （1）解：设等差数列{a_n}的公差为d≠0，∵a₁，a₃，a₉成等比数列．
∴${a}_{3}^{2}={a}_{1}•{a}_{9}$，即（1+2d）²=1×（1+8d），化为：d²=d，d≠0，解得d=1．
∴a_n=1+（n-1）=n．
（2）证明：b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
∴S_n=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=1-$\frac{1}{n+1}$＜1．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．