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如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,△PAD是等腰直角三角形,PA⊥PD,CD⊥AD,AB=AD=2,∠BAD=60°,E、F分别是AP、AD的中点.
求证:(1)平面BEF∥平面PCD;
   (2)直线PA⊥平面PCD;
   (3)求三棱锥E-ABF体积.
分析:(1)利用勾股定理证明BF⊥AD,从而可证BF∥CD,又EF∥PD,利用面面平行的判定定理证明平面BEF∥平面PCD;
(2)根据面面垂直的性质得CD⊥平面PAD,可证CD⊥PA,再由线线垂直证明线面垂直;
(3)三棱锥E-ABF换底为A-BEF,利用(1)和(2)的结论分别求得高于底面面积,代入三棱锥的体积公式计算.
解答:解:(1)证明:∵F为AD的中点,∴AF=1,
又AB=2,∠BAD=60°,由余弦定理得:BF=
3

∵AF2+BF2=AB2,∴BF⊥AD,∵CD⊥AD,BF与CD共面,∴BF∥CD,
又BF?平面PCD,CD?平面PCD,∴BF∥平面PCD,
∵E、F分别是AP、AD的中点.∴EF∥PD,EF?平面PCD,PD?平面PCD,
∴EF∥平面PCD,又∵EF∩BF=F,
∴平面BEF∥平面PCD,
(2)∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,CD?平面ABCD,
∵CD⊥AD,∴CD⊥平面PAD,PA?平面PAD,
∴CD⊥PA,又PD⊥PA,CD∩PD=D,∴PA⊥平面PCD.
(3)∵平面BEF∥平面PCD,PA⊥平面PCD,
∴PA⊥平面BEF,∴AE为三棱锥A-BEF的高,AE=
1
2
PA,
∵△PAD是等腰直角三角形,AD=2,∴PA=
2
,∴AE=
2
2

由(1)知BF⊥EF,EF=
1
2
PD=
2
2

∴VE-ABF=VA-BEF=
1
3
×
1
2
×BF×EF×AE=
1
3
×
1
2
×
3
×
2
2
×
2
2
=
3
12
点评:本题考查了面面平行与线面垂直的证明,考查了三棱锥的体积计算,考查了学生的空间想象能力与推理论证能力,
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形.已知AB=3,AD=2,PA=2,PD=2
2
,∠PAB=60°.
(1)证明AD⊥PB;
(2)求二面角P-BD-A的正切值大小.

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(2)求AE的长;
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如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,∠BCD=120°,BC⊥AB,CD⊥AD,BC=CD=PA=a,
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如图,在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为a的菱形,∠ABC=60°PD⊥面ABCD,PC=a,E为PB中点
(1)求证;平面ACE⊥面ABCD;
(2)求三棱锥P-EDC的体积.

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(2008•武汉模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,BC∥AD,且∠BAD=90°,又PA⊥底面ABCD,BC=AB=PA=1,AD=2.
(1)求二面角P-CD-A的平面角正切值,
(2)求A到面PCD的距离.

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