Question

20．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²+（2a³-a²）lnx-（a²+2a-1）x，x=1为其极值点，则实数a=-1．

Answer 1

分析 由于函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²+（2a³-a²）lnx-（a²+2a-1）x，x=1为其极值点，可得f′（1）=0，解出并验证即可．

解答 解：f′（x）=x+$\frac{1}{x}$（2a³-a²）-（a²+2a-1）（x＞0）．
∵x=1为其极值点，
∴f′（1）=1+（2a³-a²）-（a²+2a-1）=0，
∴（a+1）（a-1）²=0，解得a=±1．
a=1，f′（x）=x+$\frac{1}{x}$-2=$\frac{（x-1）^{2}}{x}$，x=1不是其极值点；
a=-1，f′（x）=x-$\frac{3}{x}$+2=$\frac{（x+1）（x-3）}{x}$，x=1为其极值点，
故答案为：a=-1．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和求极值，考查运算能力，属于中档题．