Question

四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为矩形，∠SCD=90°，∠SBC=90°，二面角S-CD-B为60°，且AB=SC=4．
（1）求证：平面SAB⊥平面ABCD；
（2）求三棱锥C-ASD的高（即以△SAD为底的三棱锥的高）．

Answer 1

分析：（1）由已知中四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为矩形，∠SCD=90°，∠SBC=90°，二面角S-CD-B为60°，我们易得SCB为二面角S-CD-B的平面角，SB⊥平面ABCD，进而根据面面垂直的判定定理，即可得到平面SAB⊥平面ABCD
（2）连接AC，由（1）的结论，我们可以得到AD⊥平面SAB，即三棱锥C-ASD可以看作AD为高，三角形DAC为底，求出底面积及高，代入棱锥体积公式，即可得到答案．

解答：解：（1）证明：∵DC⊥BCDC⊥SC∴DC⊥平面SCB
∴DC⊥SB且∠SCB为二面角S-CD-B的平面角，则∠SCB=60°
又∵SB⊥BC∴SB⊥平面ABCD
又∵SB?平面SAB∴平面SAB⊥平面ABCD
（2）连接AC
∵SB⊥平面ABCD∴SB⊥AD又AD⊥AB
∴AD⊥平面SAB∴AD⊥SA
在Rt△ASD₁中AS=

AB2+SB2

=

42+(2 3 )2

=2

7

，AD=BC=2
由V_C-SAD=V_S-ACD∴AD×AS•h=AD×CD×SB
∴h=

4 21

7

∴三棱锥C-ASD的高为

4 21

7

点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，棱锥的体积，其中熟练掌握空间直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直之间的互相转换，是解答本题的关键．