Question

求下列二次函数的解析式：
（1）图象顶点坐标为（2，-1），与y轴交点坐标为（0，11）；
（2）已知二次函数f（x）满足f（0）=1，且f（x+1）-f（x）=2x．

Answer 1

解：（1）设y=a（x-2）²-1．
将（0，11）代入可得：11=4a-1，于是a=3，
所以y=3（x-2）²-1=3x²-12x+11．
（2）设二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0），
由f（0）=1，可知c=1．
而f（x+1）-f（x）=[a（x+1）²+b（x+1）+c]-（ax²+bx+c）=2ax+a+b，
由f（x+1）-f（x）=2x，可得2a=2，a+b=0．
因而a=1，b=-1，
所以f（x）=x²-x+1．
分析：（1）因为抛物线的顶点坐标已知，所以根据顶点坐标设出抛物线的顶点式，把（0，11）代入即可求出a的值；
（2）设出二次函数的一般式，由f（0）=1，代入可得c的值，然后把f（x+1）和f（x）分别代入到f（x+1）-f（x）=2x中，根据多项式相等时系数相等的方法即可求出a与b的值，把a，b和c的值代入即可确定出f（x）的解析式．
点评：此题考查学生会利用待定系数法求函数的解析式，掌握多项式相等的条件和二次函数的性质，是一道综合题．