Question

若圆C经过坐标原点和点（6，0），且与直线y=1相切，从圆C外一点P（a，b）向该圆引切线PT，T为切点，
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）已知点Q（2，-2），且|PT|=|PQ|，试判断点P是否总在某一定直线l上，若是，求出l的方程；若不是，请说明理由；
（Ⅲ）若（Ⅱ）中直线l与x轴的交点为F，点M，N是直线x=6上两动点，且以M，N为直径的圆E过点F，圆E是否过定点？证明你的结论．

Answer 1

分析：（I）确定圆心与半径，可求圆C的方程；
（Ⅱ）由题可得PT⊥CT，从而可得结论；
（III）根据点F在圆E上，故

FM

•

FN

=0，从而可得结论．

解答：（Ⅰ）解：设圆心C（m，n）由题易得m=3----（1分）    
半径r=|1-n|=

9+n2

，----（2分）
得n=-4，r=5----（3分）     
所以圆C的方程为（x-3）²+（y+4）²=25----（4分）
（Ⅱ）解：由题可得PT⊥CT----（5分）   
所以|PT|=

|PC|2-|CT|2

=

(a-3)2+(b+4)2-25

-----（6分）
|PQ|=

(a-2)2+(b+2)2

----（7分）
所以

(a-3)2+(b+4)2-25

=

(a-2)2+(b+2)2

整理得a-2b+4=0
所以点P总在直线x-2y+4=0上----（8分）
（Ⅲ）证明：F（-4，0）----（9分）   
由题可设点M（6，y₁），N（6，y₂），
则圆心E(6，

y1+y2

2

)，半径r=

|y1-y2|

2

----（10分）
从而圆E的方程为(x-6)2+(y-

y1+y2

2

)2=

(y1-y2)2

4

----（11分）
整理得x²+y²-12x-（y₁+y₂）y+36+y₁y₂=0又点F在圆E上，故

FM

•

FN

=0
得y₁y₂=-100----（12分）   
所以x²+y²-12x-（y₁+y₂）y-64=0
令y=0得x²-12x-64=0，----（13分）   
所以x=16或x=-4
所以圆E过定点（16，0）和（-4，0）----（14分）

点评：本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．