Question

【题目】已知曲线G上的点到点的距离比它到直线的距离小2.

（1）求曲线G的方程.

（2）是否存在过F的直线l，使得l与曲线G相交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为A'，且△A'BF的面积等于4？若存在，求出此时直线l的方程；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在；直线l的方程为

【解析】

（1）设S（x，y）为曲线G上任意一点，判断曲线G是以为焦点，直线为准线的抛物线，求出曲线G的方程.

（2）设直线l的方程为，与抛物线C的方程联立，消去x，设，通过韦达定理以及三角形的面积，转化求解m即可.

解：（1）设S（x，y）为曲线G上任意一点，

依题意，点S到的距离与它到直线的距离相等，

所以曲线G是以为焦点，直线为准线的抛物线，

所以曲线G的方程为.

（2）设直线l的方程为，与抛物线C的方程联立，

得，消去x，得，

设，

则

，

解得，

所以存在直线l使得△A'BF的面积等于4，此时直线l的方程为.